ubuntuにRictyDiminishedをインストールする

ubuntu 14.04にRictyDinimisedをインストールした際のメモ

  1. 下記のページからフォントをダウンロード
  2. /usr/loca/share/fonts/にコピー
  3. フォントのキャッシュを更新

GitHub - yascentur/RictyDiminished: Ricty Diminished --- fonts for programming

git clone https://github.com/yascentur/RictyDiminished.git  
sudo cp -r RictyDiminished  /usr/local/share/fonts/  
fc-cache -fv  

バイナリファイルを逆アセンブル

「Hacking:美しき策謀」より

objdump -D a.out | grep -A20 main.:

`pow' に対する定義されていない参照です

C言語でpowを用いて累乗の計算を使用とgccコンパイルしようとすると

calc.c:(.text+0x2d): `pow' に対する定義されていない参照です collect2: error: ld returned 1 exit status

とエラーが出た.

解決策としては,

gcc -o calc calc.c -lm

gccコンパイル時にlmオプションをつければ大丈夫だった これは,powを利用するためのmath.hが通常はリンクされないことが原因みたい

git メモ1

configのヘルプを見る

git config --help

設定一覧を見る

git config -l

作業ディレクトリにおいてgitの初期化

git init

作業ディレクトリ内の変更をステージングエリアに追加

git add *

ステージングエリアからコミット

git commit -m "メッセージ"
git log 

「位相への30講」を読む

力学系の基礎 (カオス全書)を読んでたのだけど,集合や位相の知識が無さ過ぎて,何も頭に入ってこないので,位相を学ぶ.理工系2,3年程度の数学的素養があれば理解できるように書いたということだが残念ながらその様な素養は身に付けていない.

 

位相への30講 (数学30講シリーズ)を利用して少しでも学ぶ.

このシリーズは僕みたいに数学よくわかりませんな人には最適で,様々な定理の心をつかむことが出来る.

 

 昨日,今日で,以下の項目を読んだ.

  1. 遠さ,近さと数直線

  2. 平面上の距離,点列の収束

  3. 開集合,閉集合

  4. 集積点と実数の連続性

  5. コンパクト性

 

テント写像(4) リアプノフ指数

テント写像(3) 分岐図 - ken2kent's diaryでは,分岐図を作成し,aが0~1では0に収束し,1~2では2に近づくにつれてカオス的振る舞いが増大することを視覚的に確認した.

視覚的にではなく数値的にカオス的振る舞いの度合いを表す指標はないのだろうか.

 

今回は,その指標として,リアプノフ指数を導入する.

 リアプノフ指数:

\(x_{n+1}=f(x_n)\)という力学系について,近接した2点から出発した2つの軌道{\(x_n\)}がどれくらい\(n \to +\infty\)のとき離れてゆくかを測る尺度であって,

\[\begin{array}a\lambda (f) &= & \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{N}\log\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\\&=& \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} \log|f'(x_i)|\end{array}\] 

と定義される. 

             山口,カオス入門,p20,朝倉書店,1996.

 テント写像の場合

\[ \lambda = \log a\]

となり,リアプノフ指数は,aが[0,1]区間で負の値となり,[1,2]で正の値となる.

前回の考察と合わせると,リアプノフ指数が正の場合はカオス的振る舞いをすると考えられる.

 

参考文献

カオス入門 (カオス全書)

テント写像(3) 分岐図

テント写像(1) カオス的振る舞い - ken2kent's diaryでは,テント写像のパラメタが2の場合は,初期値によって軌道が様々な周期の値を取ることを示した.

テント写像(2) 不動点 - ken2kent's diaryでは,テント写像のパラメタが0.75の場合は,初期値によらずに軌道が収束することを示した.

パラメタの変化によりその軌道の振る舞いが変化していることが分かる.では,より一般的にパラメタを変化させた際の値xはどうなるのであろうか.ここでは,分岐図を図示することで結果を示す.

 

[再掲] テント写像

 \[x_{n+1}=\begin{cases} ax_{n} & 0 \leq x_{n} < \frac {1}{2} \\a(1- x_n) & \frac {1}{2}\leq x_{n} \leq 1 \end{cases}\] 

 

具体的には,パラメタaを閉区間[0,2]の範囲*1で変化させた.各パラメタにおいて,様々な初期値を設定した.

解xが不動点に収まる場合は,不動点をプロットした.解xが周期点の場合は,周期点をプロットした.

f:id:ken2kent:20140226161743j:plain

横軸をパラメータa ,縦軸は不動点もしくは周期点である.

図から以下のことが分かる.

  1. パラメタaが[0,1)*2の範囲の場合は,初期値によらず必ず不動点0に収束する.
  2. パラメタaが(1,2)の範囲の場合は,値は収束せず周期点を持つ.
  3. パラメタaが2の場合,周期点を持つのだが0から1全ての値を取り得る.

この図は,パラメタによって解の性質が分岐するので分岐図と呼ばれる.

また,図中に穴が開いたように見える場所があるがこれを「窓」と呼ぶ.

 

 

 

 

*1:閉区間[0,2]以外の範囲であると,\(x_n\)の値が[0,1]の間に収まらない

*2:a=1の時は\(常にx_n=x_0\)となる.