テント写像(2) 不動点

前回のテント写像(1) カオス的振る舞い - ken2kent's diaryでは,テント写像の係数が2の場合,初期値のわずかな変動によって周期が大きく異なってしまうということを紹介した.

では,パラメタが他の値の場合も同様に初期値によって異なる周期を持つ解が得られるのだろうか?

 

[再掲] テント写像

 \[x_{n+1}=\begin{cases} ax_{n} & 0 \leq x_{n} < \frac {1}{2} \\a(1- x_n) & \frac {1}{2}\leq x_{n} \leq 1 \end{cases}\] 

 

今回は,テント写像の係数がa=0.75の場合を見てみよう.

初期値\(x_0 = 0.8\)とすると以下の様な軌道となる.

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上図よりだんだん0に近づいているのが分かる.また,下図は右上から左下に動いている.

実は初期値によらず0に収束してしまうのである.

このように収束して写像を繰り返しても変化がない点のことを不動点と呼ぶ.

 

参考文献:カオス入門 (カオス全書)